LIRIK LAGU : Hubungan Tiga Suku Berurutan Dalam Barisan Geometri

- Konsep Tiga Suku Berurutan. Suku ke-n dalam suatu barisan artimatika sanggup dinyatakan menurut suku sebelum atau suku sesudahnya. Misalnya, suku kedua sanggup ditentukan menurut nilai suku pertama atau menurut nilai suku ketiga dengan catatan rasio barisannya diketahui. Jika suku pertama dan rasio diketahui, maka suku kedua sanggup dinyatakan sebagai hasil kali suku pertama dengan rasio. Sedangkan kalau suku ketiga dan rasio yang diketahui, maka suku kedua sanggup dinyatakan sebagai hasil bagi suku ketiga oleh rasio barisan. Hubungan khusus ini sanggup dimanfaatkan untuk menuntaskan beberapa model soal perihal barisan geometri contohnya memilih suku ke-n kalau tiga suku berurutan diketahui, memilih tiga bilangan dalam barisan geometri kalau jumlah dan hasil kali ketiga bilangan itu diketahui, dan sebagainya. Pada kesempatan ini, edutafsi akan membahas dua kondisi terkait kekerabatan tiga suku berurutan dilengkapi dengan pola dan pembahasan.

A. Rasio Barisan Geometri

Karena kondisi khusus dari tiga suku berurutan dalam barisan geometri ditinjau menurut kekerabatan suku ke-n dengan rasio barisan, maka ada baiknya kita membahas kembali konsep dari rasio barisan geometri. Pembahasan mengenai rasio geometri juga anda baca pada artikel sebelumnya yang sanggup anda temukan di sajian matematika.

Secara sederhana, rasio barisan sanggup diartikan sebagai perbandingan antara dua suku yang berdekatan, sempurna perbandingan antara suku ke-n dengan suku sebelumnya. Jika sebuah barisan geometri terdiri dari tiga suku, maka rasio barisan tersebut sanggup dihitung menurut perbandingan antara suku ketiga dengan suku kedua atau perbandingan antara suku kedua dengan suku pertama.

Ciri khas barisan geometri yakni mempunyai rasio yang sama atau tetap. Artinya, perbandingan setiap dua suku yang berdekatan di dalam barisan tersebut selalu sama, yaitu sebesar r. Jika nilai r berubah-ubah, maka barisan tersebut bukanlah barisan geometri. Secara matematis, rasio barisan geometri sanggup dinyatakan dengan persamaan berikut :

r = Un Un-1

Keterangan :
r = rasio barisan geometri
Un = suku ke-n barisan geometri
U_n-1 = suku sebelum suku ke-n barisan geometri
n = nomor atau jumlah suku (1, 2, 3, ...).

B. Perbandingan Dua Suku Berdekatan

Karena rasio pada barisan geometri selalu sama, maka perbandingan setiap dua suku yang berdekatan akan menghasilkan nilai yang sama sebesar r. Misal sebuah barisan geometri terdiri dari tiga suku yaitu U_a, U_b, dan U_c, maka rasio barisan tersebut sanggup dihitung dengan rumus berikut.

Berdasarkan nilai suku kedua dan pertama :
⇒ r = U_b/U_a

Berdasarkan nilai suku ketiga dan kedua :
⇒ r = U_c/U_b

Karena rasio barisan geometri selalu sama, maka berlaku :

⇒	Ub	=	Uc
	Ua		Ub

Jika dikali silang, maka bentuk persamaan di atas sanggup diubah menjadi :
⇒ U_b² = U_a . U_c

Dengan demikian, untuk tiga suku berurutan pada barisan geometri, suku tengah dari tiga suku tersebut sanggup dihitung dengan rumus berikut :

Ub2 = Ua . Uc

Keterangan :
Ub = suku tengah pada dari tiga suku yang berurutan
Ua = suku awal dari tiga suku yang berurutan
Uc = suku ketiga dari tiga suku yang berurutan.

Contoh :
Jika suku pertama, kedua, dan ketiga suatu barisan geometri berturut-turut yakni m, 3m, dan 8m + 4, maka tentukanlah suku kelima barisan tersebut.

Pembahasan :
Dik : U₁ = m, U₂ = 3m, U₃ = 8m + 4
Dit : U₅ = .... ?

Untuk menghitung suku kelima, maka kita harus memilih terlebih dahulu suku pertama dan rasio barisan geometri tersebut. Rasio barisan tersebut yakni :
⇒ r = U₂/U₁
⇒ r = 3m/m
⇒ r = 3

Untuk mengetahui nilai m (suku pertama), maka sanggup dipakai rumus di atas:
⇒ U₂² = U₁ . U₃
⇒ (3m)² = m (8m + 4)
⇒ 9m² = 8m² + 4m
⇒ 9m² - 8m² = 4m
⇒ m² = 4m
⇒ m²/m = 4
⇒ m = 4

Karena m = 4, maka suku pertama barisan tersebut :
⇒ U₁ = m
⇒ U₁ = 4
 
Karena a =  U₁ = 4 dan r = 3, maka suku kelimanya yakni :
⇒ U₅ = a . r^5-1
⇒ U₅ = a . r⁴
⇒ U₅ = 4 . 3⁴
⇒ U₅ = 4 . 81
⇒ U₅ = 324

Jadi, suku kelima barisan geometri tersebut yakni 324.

C. Bentuk Khusus Tiga Suku Berurutan

Selain bentuk pada poin B di atas, tiga suku berurutan dalam barisan geometri juga sanggup kita susun ke dalam bentuk yang berbeda. Misal sebuah barisan geometri terdiri dari tiga suku U_a, U_b, dan U_c. Jika suku tengah (yaitu suku kedua) diubah menjadi k, maka menurut kekerabatan dua suku berdekatan, suku pertama dan suku ketiga dpata diubah menjadi menyerupai di bawah ini.

Jika U_b = k dan rasio = r, maka suku pertama sanggup diubah menjadi :
⇒ U_a = U_b/r
⇒ U_a = k/r

Sedangkan suku ketiga sanggup diubah menjadi :
⇒ U_c = U_b . r
⇒ U_c = kr

Dengan demikian, ketiga suku berurutan (U_a, U_b, dan U_c) sanggup ditulis menjadi bentuk lain, yaitu ^k/_r, k, kr. Jika ketiga suku tersebut dikalikan, maka akan diperoleh :
⇒ U_a . U_b . U_c = k/r . k . kr
⇒ U_a . U_b . U_c = k³

Karena Ub dimisalkan k, maka untuk tiga suku berurutan dalam barisan geometri, berlaku persamaan:

Ua . Ub . Uc = Ub3

Keterangan :
U_b = suku tengah dalam tiga suku berurutan
U_a = suku awal dari tiga suku berurutan
U_c = suku simpulan dati tiga suku berurutan.

Contoh :
Jika jumlah tiga bilangan dalam suatu barisan geometri yakni 14 dan hasil kali ketiganya yakni 64, maka tentukanlah ketiga bilangan tersebut.

Pembahasan :
Dik : U_a . U_b . U_c = 64, dan U_a + U_b + U_c = 14
Dik : U_a, U_b, U_c = ... ?

Hasil kali ketiga bilangan :
⇒ U_a . U_b . U_c = 64
⇒ U_b³ = 64
⇒ U_b³ = 4³
⇒ U_b = 4

Jumlah ketiga bilangan :
⇒ U_a + U_b + U_c = 14
⇒ U_b/r + U_b + U_b.r = 14
⇒ 4/r + 4 + 4r = 14
⇒ 4/r + 4r + 4 - 14 = 0
⇒ 4/r + 4r - 10 = 0

Jika kedua ruas dikali dengan r, maka persamaanya menjadi :
⇒ 4 + 4r² - 10r = 0
⇒ 4r² - 10r + 4 = 0
⇒ 2r² - 5r + 2 = 0
⇒ ½ (2r - 4)(2r - 1) = 0
⇒ r = 2 atau r = ½

Untuk r = 2, maka ketiga bilangannya yakni :
⇒ U_a, U_b, U_c = 4/2, 4, 4(2)
⇒ U_a, U_b, U_c = 2, 4, 8

Untuk r = ½, maka ketiga bilangannya yakni :
⇒ U_a, U_b, U_c = 4/½, 4, 4(½)
⇒ U_a, U_b, U_c = 8, 4, 2

Jadi, ketiga bilangan yang berurutan tersebut yakni 2, 4, 8 atau 8, 4, 2.

Berdasarkan pembahasan di atas, berikut edutafsi rangkum dua rumus atau persamaan yang berlaku untuk tiga suku berurutan dalam barisan geometri. Misal tiga suku berurutan yakni U_a, U_b, dan U_c, maka berlaku persamaan menyerupai pada gambar di bawah ini.

Demikianlah pembahasan singkat mengenai kekerabatan khusus tiga suku berurutan dalam barisan geometri. Jika materi mencar ilmu ini bermanfaat, bantu kami membagikannya kepada teman-teman anda melalui tombol share di bawah ini.