LIRIK LAGU : Menentukan Beda Barisan Aritmatika Kalau Diketahui Sebarang Suku

- Hubungan Sebarang Suku dengan Beda. Pada pembahasan sebelumnya, edutafsi telah membahas cara memilih beda barisan aritmatika untuk beberapa kondisi yang umum. Salah satu kondisi yang dibahas yakni memilih beda barisan jikalau dua suku yang tidak berdekatan diketahui. Jika pada soal diketahui dua suku sebarang yang tidak berdekatan atau tidak berurutan, maka salah satu cara memilih beda barisannya yakni dengan memanfaatkan konsep sistem persamaan linear dua variabel. Akan tetapi, soal menyerupai itu juga sanggup diselesaikan tanpa konsep persamaan linear dua variabel. Cara lain yang sanggup dipakai yakni dengan menyatakan kekerabatan sebarang suku yang diketahui melalui beda barisan. Bagaimana caranya? Untuk lebih jelasnya perhatikan pembahasan berikut ini.

A. Hubungan Dua Suku Berdekatan

Hubungan antara dua suku yang berdekatan (berurutan) dalam suatu barisan arimatika sanggup dilihat melalui persamaan atau rumus memilih beda. Dari rumus tersebut terang bahwa selisih antara dua suku berdekatan dalam suatu barisan aritmatika yakni beda barisan tersebut.

Persamaan rumus memilih beda barisan sanggup ditulis dalam bentuk yang berbeda untuk menyatakan bagaimana kekerabatan antara dua suku yang berdekatan. Dengan bentuk lain, akan terlihat bahwa suku ke-n suatu barisan aritmatika merupakan jumlah dari suku sebelumnya dengan beda barisan tersebut. Hubungan tersebut tanpak pada persaman di bawah ini :

Un = Un-1 + b

Keterangan :
Un = suku ke-n barisan aritmatika (n = 1, 2, 3, ...)
U_n-1 = sebuah suku sebelum suku ke-n
b = beda barisan atau selisih antara dua suku berdekatan.

Dari persamaan di atas sanggup diketahui bahwa suku ketiga suatu barisana aritmatika yakni jumlah dari suku kedua ditambah beda barisan, suku keempat yakni jumlah dari suku ketiga ditambah beda barisan, dan begitu seterusnya. Hubungan tersebut merupakan konsep dasar aritmatika yang harus dipahami.

Contoh :
Diketahui barisan aritmatika : 45, 51, 57, 63, 69, 75. Tentukanlah beda barisan tersebut.

Pembahasan :
Untuk soal dasar menyerupai ini, beda barisan sanggup dengan gampang diketahui alasannya yakni beda barisan yakni selisih antara dua suku barisan yang berdekatan, sehingga sanggup ditentukan dengan menghitung selisih antar suku-suku yang diketahui.

Beda barisan :
⇒ b = 51 - 45 = 57 - 51 = 63 - 57
⇒ b = 6 = 6 = 6
⇒ b = 6

Jadi, beda barisan tersebut yakni 6.

B. Hubungan Sebarang Suku

Lalu bagaimana jikalau pada soal tidak diketahui dua suku yang berdekatan? Jika pada soal hanya diketahui dua atau beberapa suku sebarang yang posisinya tidak berdekatan, bagaimana kekerabatan antara suku-suku tersebut melalui beda barisan?

Misal diberi barisan aritmatika sebagai berikut :
2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30.

Dari data di atas, sanggup diketahui suku kelima dan suku kedelapan barisan tersebut yakni 18 dan 30. Bagaimana kekerabatan kedua suku tersebut jikalau dinyatakan melalui beda barisan? Hubungan tersebut terlihat pada penurunan persamaan sebagai berikut:

Persamaan untuk suku kedelapan :
Suku ke-8 yakni jumlah antara suku ke-7 ditambah beda barisan.
⇒ U₈ = U₇ + b
⇒ U₈ = (U₆ + b) + b
⇒ U₈ = U₆ + b + b
⇒ U₈ = (U₅ + b) + b + b
⇒ U₈ = U₅ + b + b + b
⇒ U₈ = U₅ + 3b

Sekarang mari kita buktikan persamaan di atas sesuai atau tidak. Pada soal diketahui beda barisan yakni 4 (6 - 2 = 4). Dengan demikian suku kedelapan barisan tersebut adalah:
⇒ U₈ = U₅ + 3b
⇒ U₈ = 18 + 3(4)
⇒ U₈ = 18 + 12
⇒ U₈ = 30 (Benar).

Dari penurunan di atas, ternyata diperoleh kekerabatan antara suku kedelapan dan suku kelima. Hubungan tersebut ternyata mempunyai pola khusus yang berlaku untuk semua sebarang suku dalam barisan aritmatika. Jika dinyatakan dalam persamaan umum, maka kekerabatan sebarang suku yakni sebagai berikut:

Un = Un-k + kb

Keterangan :
Un = suku ke-n barisan aritmatika (n = 1, 2, 3, ...)
U_n-k = suku sebarang sebelum suku ke-n (k = 1, 2, 3, ...)
b = beda barisan atau selisih antara dua suku berdekatan.

Contoh :
Jika diketahui suku keenam dan suku kesepuluh suatu barisan aritmatika yakni 9 dan 25, maka tentukanlah beda barisan tersebut!

Pembahasan :
Dik : U₆ = 9, U₁₀ =25
Dit : b = .... ?

Nyatakan suku ke-10 dalam bentuk suku ke-6 :
Untuk menyatakan suku ke-10 ke dalam bentuk persamaan di atas, maka kita tentukan nilai k yang bersesuaian. Nilai k merupakan selisih n antara suku ke-10 dengan suku ke-6 :
⇒ k = 10 - 6
⇒ k = 4

Dengan demikian kita peroleh n = 10 dan k = 4. Selanjutnya substitusi nilai n dan k ke persamaan umum kekerabatan sebarang suku sebagai berikut:
⇒ U_n = U_n-k + kb
⇒ U₁₀ = U_10-4 + 4b
⇒ U₁₀ = U₆ + 4b
⇒ 25 = 9 + 4b
⇒ 4b = 25 - 9
⇒ 4b = 16
⇒ b = 4

Jadi, beda barisan tersebut yakni 4. Dengan cara ini kita tidak perlu menyusun sistem persaman linear dua variabel menyerupai pada pembahasan sebelumnya.

Perhatikan beberapa pola kekerabatan sebarang suku berikut ini:
a). U₁₀ dan U₄ → U₁₀ = U₄ + 6b
b). U₈ dan U₃ → U₈ = U₃ + 5b
c). U₁₂ dan U₈ → U₁₂ = U₈ + 4b.