LIRIK LAGU : Menentukan Suku Tengah Barisan Aritmatika Dengan Jumlah Suku Ganjil

- Suku Tengah Barisan Aritmatika. Selain suku pertama, suku ke-n, dan beda barisan, dalam pembahasan barisan aritmatika juga dikenal istilah suku tengah. Suku tengah merupakan istilah yang merujuk pada bilangan yang berada di tengah-tengah suatu barisan. Suku tengah umumnya merupakan sebuah suku atau sebuah bilangan (bukan dua atau beberapa suku) sehingga pembahasan suku tengah khusus untuk barisan aritmatika yang jumlah sukunya ganjil. Mengapa demikian? Karena pada barisan yang jumlah sukunya genap, maka barisan tersebut terbagi dua bab sama panjang dan tidak ada suku tengah. Kalaupun ada suku tengah, maka suku tersebut merujuk pada dua buah suku paling tengah bukan sebuah suku. Untuk lebih jelasnya perhatikan pembahasan berikut ini.

A. Pengertian Suku Tengah

Suku ke-n suatu barisan umumnya dinyatakan dengan simbol Un dimana n menyatakan banyak atau nomor suku. Suku pertama, suku kedua, dan suku ketiga secara berturut-turut ditulis sebagai U₁, U₂, U₃. Perhatikan bahwa penomoran suku dimulai dari 1, 2, 3, dan seterusnya. Tidak pernah disebut suku kedua setengah atau sebagainya. 

Karena n sebagai nomor atau jumlah suku merupakan bilangan bundar positif bukan nol atau bilangan asli, maka tidak ada suku yang dinyatakan dalam nomor belahan atau desimal. Oleh lantaran itu, pembahasan mengenai suku tengah dikhususkan untuk barisan yang jumlah sukunya ganjil.

Sebagai contoh, sebuah barisan aritmatika terdiri dari sembilan suku sebagai berikut :
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26.

Pada pola di atas, yang disebut suku tengah yaitu suku kelima yaitu 14. Pada barisan tersebut terang sanggup dilihat bahwa suku kelima berada di tengah-tengah barisan dan membagi barisan menjadi dua bab yang sama besar (4 suku di kiri dan 4 suku di kanan).

Sebagai perbandingan, perhatikan barisan aritmatika dengan sepuluh suku berikut :
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29.

Pada pola di atas, tidak ditemukan sebuah suku tengah lantaran jikalau dibagi menjadi dua bab akan dihasilkan dua bab yang sama besar tanpa pembagi. Dengan kata lain, lantaran jumlah sukunya genap, maka tidak ada sebuah suku yang membagi barisan itu menjadi dua bab sama besar.

Kalaupun suku tengah diartikan sebagai suku yang berada di tengah-tengah, maka pada pola di atas akan ada dua suku yang berada di tengah yaitu 14 dan 17. Dalam hal ini tidak lagi sesuai dengan istilah suku tengah yang merujuk pada satu atau sebuah suku.

Berdasarkan dua pola tersebut, maka sanggup disimpulkan bahwa suku tengah yaitu sebuah suku yang berada di tengah-tengah barisan dengan jumlah suku ganjil. Suku tengah membagi barisan tersebut menjadi dua bab sama besar.

B. Rumus Suku Tengah Barisan Aritmatika

Misal diberikan barisan aritmatika dengan suku ganjil sebanyak n suku, maka pada barisan tersebut terdapat sebuah suku tengah yang biasanya disimbolkan dengan Ut. Susunan suku tengah dalam barisan aritmatika sanggup ditulis sebagai berikut : U₁, ..., Ut, ...., Un ; dengan n ganjil.

Hubungan antara suku tengah dan beda barisan yaitu sebagai berikut:
⇒ Ut = U₁ + ½(n - 1)b
⇒ Ut = a + ½(n - 1)b

Hubungan antara suku terakhir dan beda barisan yaitu sebagai berikut:
⇒ Un = U₁ + (n - 1)b
⇒ Un = a + (n - 1)b

Dari kedua persamaan di atas, kita sanggup menurunkan suatu rumus yang menyatakan hubungan antara suku tengah, suku pertama, dan suku terakhir barisan aritmatika. Penurunan rumusnya yaitu sebagai berikut.

Pada rumus suku tengah kita temukan ½(n - 1)b dan pada rumus suku terkahir kita temukan (n - 1)b. Nah, biar keduanya sanggup dikaitkan, maka rumus suku terkakhir kita kali dengan ½ sehingga diperoleh :
⇒ Un = a + (n - 1)b
⇒ ½Un = ½{a + (n - 1)b}
⇒ ½Un = ½a + ½(n - 1)b
⇒ ½(n - 1)b = ½Un - ½a

Jika persamaan di atas disubtitusi ke rumus suku tengah, maka diperoleh :
⇒ Ut = a + ½(n - 1)b
⇒ Ut = a + ½Un - ½a
⇒ Ut = a - ½a + ½Un
⇒ Ut = ½a + ½Un
⇒ Ut = (a + Un)/2

Dengan demikian, hubungan antara suku pertama, suku tengah, dan suku terakhir untuk barisan aritmatika sanggup dinyatakan dengan rumus berikut:

Ut = a + Un 2

Keterangan :
Ut = suku tengah barisan aritmatika
a = suku pertama barisan aritmatika
Un = suku terakhir barisan aritmatika (n ganjil).

Contoh 1 :
Sebuah barisan aritmatika mempunyai jumlah suku ganjil. Jika suku pertamanya 2 dan suku terkahirnya yaitu 14, maka tentukanlah suku tengah barisan tersebut.

Pembahasan :
Dik : a = 2, Un = 14
Dit : Ut = .... ?

Berdasarkan rumus suku tengah :
⇒ Ut = (a + Un)/2
⇒ Ut = (2 + 14)/2
⇒ Ut = 16/2
⇒ Ut = 8

Jadi, suku tengah barisan tersebut yaitu 8. 

Contoh 2 : 
Suatu barisan aritmatika terdiri dari tujuh suku. Jika suku pertama dan beda barsian tersebut yaitu 2 dan 2, maka tentukan suku tengah barisan tersebut!

Pembahasan :
Dik : a = 2, b = 2, n = 7
Dit : Ut = ... ?

Berdasarkan hubungan suku tengah dan beda barisan :
⇒ Ut = a + ½(n - 1)b
⇒ Ut = 2 + ½(7 - 1)2
⇒ Ut = 2 + ½(6)2
⇒ Ut = 2 + 6
⇒ Ut = 8

Jadi, suku tengah barisan tersebut yaitu 8.

Perhatikan bahwa barisan aritmatika pada soal pertama dan soal kedua yaitu sama namun model soalnya berbeda. Pembahasan soal di atas sekaligus menawarkan pengunaan dan hubungan kedua rumus suku tengah yang telah dibahas.