LIRIK LAGU : Menentukan Suku Ke-N Bila Jumlah N Suku Pertama Diketahui

- Cara Menentukan Rumus Un Berdasarkan Rumus Sn. Pada pembahasan sebelumnya, edutafsi telah mengatakan bagaimana rumus jumlah n suku pertama suatu deret artimatika sanggup dinyatakan atau diubah menjadi bentuk persamaan kuadrat dalam variabel n. Sebelumnya juga diketahui bahwa rumus Sn sanggup ditentukan kalau suku ke-n (Un) diketahui. Itu artinya, kita juga sanggup memilih suku ke-n suatu deret artimatika kalau jumlah n suku pertamanya diketahui. Tapi bagaimana kalau jumlah n suku pertama tersebut dinyatakan dalam bentuk persamaan kuadrat dan anda diminta untuk memilih rumus suku ke-n deret tersebut? Bagaimana cara menentukannya?

#1 Dengan Mensubstitusi Nilai n

Jika rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan dalam bentuk persamaan kuadrat, maka rumus suku ke-n deret tersebut sanggup ditentukan dengan cara memilih suku pertama dan suku kedua deret tersebut terlebih dahulu.

Caranya ialah dengan mensubstitusikan nilai n = 1 dan n = 2 ke persamaan rumus jumlah n suku pertama yang diketahui pada soal. Setelah suku pertama (a) dan suku kedua diketahui, maka kita sanggup menghitung beda barisan (b) tersebut.

Karena suku pertama dan beda barisan sudah diketahui, maka kita sanggup memilih rumus suku ke-n deret tersebut dengan cara mensubstitusikan nilai a dan b ke rumus dasar suku ke-n, yaitu:

Un = a + (n - 1)b

Dengan Un menyatakan suku ke-n deret aritmatika, a menyatakan suku pertama deret artimatika, n menyatakan banyak suku, dan b menyatakan beda deret. Hasil simpulan akan diperoleh persamaan dalam varaibel n.

Contoh :
Jika jumlah n suku pertama pada suatu deret aritmatika dinyatakan oleh Sn = 3n² + 5n, maka tentukanlah rumus suku ke-n deret tersebut!

Pembahasan :
Dik : Sn = 3n² + 5n
Dit : Un = .... ?

Perlu diingat bahwa jumlah 1 suku pertama dalam suatu deret tentu sama dengan suku pertama deret tersebut alasannya ialah hanya satu suku saja yang dijumlahkan.

Langkah pertama tentukan suku pertama, subsitusi n = 1 :
⇒ U₁ = S₁
⇒ U₁ = 3(1)² + 5(1)
⇒ U₁ = 3 + 5
⇒ U₁ = 8
⇒ a = 8

Selanjutnya, tentukan jumlah 2 suku pertama, substitusi n = 2 :
⇒ S₂ = 3(2)² + 5(2)
⇒ S₂ = 3.4 + 10
⇒ S₂ = 12 + 10
⇒ S₂ = 22

Kemudian, kita sanggup memilih suku kedua. Karena jumlah 2 suku pertama sama artinya dengan jumlah suku pertama ditambah suku kedua, maka berlaku :
⇒ S₂ = U₁ + U₂
⇒ 22 = 8 +  U₂
⇒ U₂ = 22 - 8
⇒ U₂ = 14

Selanjutnya kita peroleh beda deret dengan cara :
⇒ b = U₂ - U₁
⇒ b = 14 - 8
⇒ b = 6

Langkah terkahir, substitusi nilai a dan b ker rumus Un :
⇒ Un = a + (n - 1) b
⇒ Un = 8 + (n - 1)6
⇒ Un = 8 + 6n - 6
⇒ Un = 6n + 2

Jadi, suku ke-n deret tersebut ialah Un = 6n + 2. Bandingkan hasil ini degan memakai cara kedua yaitu dengan konsep suku ke-n berikut ini.

#2 Dengan Konsep Suku ke-n

Jika dihubungkan dengan jumlah n suku pertama, ada sebuah konsep mengenai suku ke-n yang bersama-sama berlaku untuk semua jenis deret termasuk deret aritmatika. Konsep ini menyatakan bahwa suku ke-n sama dengan selisih antara jumlah n suku pertama (Sn) dengan jumlah n-1 suku pertama (S_n-1).

Untuk memahami konsep tersebut, mari kita ambil sebuah pola kasus. Misalkan diberikan sebuah deret aritmatika yang terdiri dari 5 suku, yaitu :
4 + 8 + 12 + 16 + 20

Jumlah 5 suku pertama untuk deret tersebut ialah :
⇒ S₅ = 4 + 8 + 12 + 16 + 20
⇒ S₅ = 60

Selanjutnya mari kita hitung jumlah n-1 suku pertama. Dalam hal ini, alasannya ialah jumlah sukunya ada 5, maka yang dimaksud dengan jumlah n-1 suku pertama ialah jumlah 4 suku pertama (S₄). Jika dihitung memakai rumus Sn, maka :
⇒ S₄ = 4 + 8 + 12 + 16
⇒ S₄ = 40

Nah, kini coba perhatikan bahwa jumlah 4 suku pertama pada deret tersebut sama dengan jumlah 5 suku pertama dikurangi suku terakhir yaitu 20. Suku terakhir itu ialah suku kelima. Dengan demikian, berlaku :
⇒ S₄ = 60 - 20
⇒ S₄ = S₅ - U₅
⇒ U₅ = S₅ - S₄

Dengan demikian, secara umum suku ke-n sanggup dinyatakan dengan rumus berikut :

Un = Sn − Sn-1

Dengan Un menyatakan suku ke-n barisan atau deret aritmatika, Sn menyatakan jumlah n suku pertama deret aritmatika, dan S_n-1 menyatakan jumlah n-1 suku pertama deret tersebut.

Contoh :
Jika jumlah n suku pertama pada suatu deret aritmatika dinyatakan oleh Sn = 3n² + 5n, maka tentukanlah rumus suku ke-n deret tersebut!

Pembahasan :
Dik : Sn = 3n² + 5n
Dit : Un = .... ?

Langkah pertama kita tentukan dulu persamaan untuk S_n-1, dengan cara mensubstitusi atau mengganti n menjadi n - 1 sebagai berikut :
⇒ Sn = 3n² + 5n
⇒ S_n-1 = 3(n - 1)² + 5(n - 1)
⇒ S_n-1 = 3(n² - 2n + 1) + 5n - 5
⇒ S_n-1 = 3n² - 6n + 3 + 5n - 5
⇒ S_n-1 = 3n² - n - 2

Selanjutnya, kita tentukan Un menurut konsep:
⇒ Un = Sn − S_n-1
⇒ Un = 3n² + 5n − (3n² - n - 2)
⇒ Un = 3n² − 3n² + 5n + n + 2
⇒ Un = 6n + 2

Jadi, diperoleh rumus Un yang sama dengan cara pertama, yaitu Un = 6n + 2.

Demikian pembahasan singkat mengenai cara memilih rumus suku ke-n (Un) kalau rumus jumlah n suku pertama (Sn) diketahui. Jika materi berguru ini bermanfaat, bantu kami membagikan kepada sobat anda melalui tombol share di bawah ini.