Katakanlah di dalam sebuah soal diberikan deret aritmatika dimana beberapa sukunya diketahui. Deret tersebut terdiri dari seratus suku dan hanya beberapa suku saja yang disebutkan sedangkan suku-suku lainnya tidak diketahui termasuk suku ke-100. Jika anda diminta memilih jumlah 100 suku pertama, maka bagaimana cara menentukannya?
Untuk kondisi ibarat itu, kita sanggup memanfaatkan kembali sifat-sifat yang berlaku dalam barisan aritmatika. Kita tahu bahwa suku ke-n dalam suatu barisan aritmatika sanggup ditentukan bila beberapa suku dalam barisan tersebut diketahui. Ada banyak kondisi dan cara yang sanggup digunakan.
Itu artinya, bila suku ke-n barisan tersebut sanggup kita tentukan menurut nilai suku-suku yang diketahui, maka suku ke-100 juga sanggup diketahui dengan memakai cara yang sesuai bergantung pada situasi dalam soal. Untuk itu, perlu kita ingat kembali bagaimana korelasi Un dengan suku lainnya.
A. Rumus Sn Jika a dan Un Diketahui
Jika suku pertama (U1 atau a) dan suku terkahir (Un) dalam suatu barisan atau deret aritmatika diketahui, maka jumlah n suku pertama sanggup dihitung memakai rumus berikut :
|
Perhatikan bahwa Un di sini tidak selalu menyatakan suku terakhir melainkan suku ke-n dari deret tersebut. Nilai n bergantung pada soal yang ditanya. Misal diketahui deret aritmatika terdiri dari 20 suku (suku terakhir suku ke-20) dan anda diminta memilih jumlah 5 suku pertama, maka nilai n yang digunakan yaitu 5 dan Un dalam rumus yaitu U5 bukan U20.
Contoh :
Suku pertama dan suku kesepuluh suatu barisan aritmatika yaitu 20 dan 155. Tentukanlah jumlah sepuluh suku pertama barisan tersebut!
Pembahasan :
Dik : n = 10, a = 20, U10 = 155
Dit : S10 = .... ?
Berdasarkan rumus :
⇒ Sn = n/2 (a + Un)
⇒ S10 = 10/2 (20 + 155)
⇒ S10 = 5(175)
⇒ S10 = 875
Jadi, jumlah 10 suku pertama barisan tersebut yaitu 875.
B. Rumus Sn Jika Un Tidak Diketahui
Jika suku ke-n pada deret atau barisan aritmatika tidak diketahui, maka prinsipnya kita harus memilih suku ke-n terlebih dahulu. Namun kita sanggup memanipulasi rumus Sn di atas biar sanggup digunakan untuk situasi ketika suku ke-n tidak diketahui.Pada rumus di atas sanggup kita lihat ada besaran Un yang menyatakan suku ke-n deret aritmatika. Jika suku tersebut tidak diketahui, maka kita sanggup menentukannya menurut hubungannya dengan suku pertama dan beda barisan.
Seperti yang telah dibahas pada beberapa artikel sebelumnya, korelasi suku ke-n, suku pertama dan beda barisan sanggup ditulis sebagai berikut :
⇒ Un = a + (n - 1)b
Nah, bila persamaan di atas kita substitusi ke rumus Sn yang pertama, maka akan kita peroleh bentuk lain dari rumus tersebut sebagai berikut :
⇒ Sn = n/2 (a + Un)
⇒ Sn = n/2 [a + {a + (n - 1)b}]
⇒ Sn = n/2 {a + a + (n - 1)b}
⇒ Sn = n/2 {2a + (n - 1)b}
Dengan demikian, bila suku ke-n tidak diketahui (tapi a dan b diketahui), maka jumlah n suku pertama dpat ditentukan dengan rumus berikut :
|
Dengan Sn menyatakan jumlah n suku pertama, n menyatakan banyak suku yang ditanya (n = 1, 2, 3, ...), a menyatakan suku pertama, dan b menyatakan beda barisan.
Contoh :
Diketahui barisan aritmatika : 4, 10, 16, 22, ...., Un. Tentukanlah jumlah 100 suku pertama dari barisan aritmatika tersebut!
Pembahasan :
Dik : n = 100, a = 4, b = 10 - 4 = 16 - 10 = 6
Dit : S100 = ... ?
Berdasarkan rumus :
⇒ Sn = n/2 {2a + (n - 1)b}
⇒ S100 = 100/2 {2.4 + (100 - 1)6}
⇒ S100 = 50 (8 + 594)
⇒ S100 = 50 (602)
⇒ S100 = 30.100
Jadi, jumlah 100 suku pertama barisan tersebut yaitu 30.100.
