LIRIK LAGU : Contoh Soal Memilih Titik Maksimum Fungsi Objektif

- (Contoh 5 : Menentukan Syarat Nilai Maksimum Fungsi Tujuan) Menjelang hari raya Idul Adha, Pak Mahmud hendak menjual sapi dan kerbau. Harga seekor sapi dan kerbau di Medan berturut-turut Rp 9.000.000,00 dan Rp 8.000.000,00. Modal yang dimiliki pak Mahmud yaitu Rp 124.000.000,00. Pak Mahmud menjual sapi dan kerbau di Aceh dengan harga berturut-turut Rp 10.300.000,00 dan Rp 9.200.000,00. Kandang yang ia miliki hanya sanggup menampung tidak lebih dari 15 ekor. Agar mencapai keuntungan maksimum, tentukanlah banyak sapi dan kerbau yang harus dibeli pak Mahmud!

Pembahasan :
Karena ditanya keuntungan maksimum, maka fungsi tujuannya berkaitan dengan besar keuntungan dari penjualan sapi dan kerbau. Dengan demikian, fungsi tujuan untuk soal di atas sanggup dinyatakan dalam variabel banyak sapi dan banyak kerbau yang harus dibeli.

Karena variabelnya yaitu jumlah binatang kurban, maka sanggup dilakukan pemisalan sebagai berikut:
1). Banyak sapi yang dibeli = x
2). Banyak kerbau yang dibeli = y

Selain jumlah binatang kurban yang dibeli, fungsi tujuan juga bergantung pada besar keuntungan yang diperoleh dari penjualan sapi atau kerbau. Oleh alasannya yaitu itu kita juga harus menghitung keuntungan penjualan sapi dan kerbau terlebih dahulu.

Berikut keuntungan dari penjualan masing-masing binatang :
1). Untung jual sapi = Rp 10.300.000,00 - Rp 9.000.000,00 = Rp 1.300.000,00
2). Untung jual kerbau = Rp 9.200.000,00 - Rp 8.000.000,00 = Rp 1.200.000,00

Jika dinyatakan dalam variabel x dan y, maka fungsi tujuannya yaitu :
F(x,y) = 1.300.000x + 1.200.000y

Arti dari fungsi tujuan tersebut yaitu berapa nilai x (banyak sapi yang dibeli) dan nilai y (banyak kerbau yang dibeli semoga diperoleh nilai F maksimum. Dengan kata lain semoga diperoleh keuntungan yang maksimum.

Model matematika yang memenuhi soal yaitu :
1). Banyak sapi mustahil negatif → x ≥ 0
2). Banyak kerbau mustahil negatif → y ≥ 0
3). Daya tampung sangkar tidak lebih dari 15 ekor → x + y ≤ 15
4). 9.000.000x + 8.000.000y ≤ 124.000.000 → 9x + 8y ≤ 124

Selanjutnya, kita tentukan titik koordinat masing-masing garis semoga sanggup kita gambar dalam grafik.
Untuk x + y = 15
1). Jika x = 0, maka y = 15 → titik potong (0,15)
2). Jika y = 0, maka x = 15 → titik potong (15,0)

Untuk 9x + 8y = 124
1). Jika x = 0, maka y = 15,5 → titik potong (0, 16)
2). Jika y = 0, maka x = 13,7 → titik potong (13 ,0)

Keterangan : titik potong pertama digenapkan menjadi 16 alasannya yaitu jumlah sapi mustahil 1/2. Titik kedua digenapkan menjadi 13 alasannya yaitu melihat kondisi grafik, titik ini akan menjadi titik pojok, jadi 13,7 tidak digenapkan ke 14 alasannya yaitu kalau dibulatkan ke 14 maka akan lebih dari Rp 124.000.000,00.

Dari grafik di atas dieproleh tiga titik pojok yang memenuhi syarat untuk menghasilkan nilai maksimum yaitu titik A, B, dan C. Titi A dan C sanggup ditentukan secara pribadi yaitu A(0,15) dan C(13,0).

Titik B merupakan titik potong antara garis x + y = 15 dan 9x + 8y = 124.
⇒ x + y = 15
⇒ x = 15 - y

Substitusi ke persamaan 9x + 8y = 124
⇒ 9(15 - y) + 8y = 124
⇒ 135 - 9y + 8y = 124
⇒ y = 11

Substitusi nilai y untuk memperoleh nilai x :

⇒ x + y = 15

⇒ x + 11 = 15

⇒ x = 4
Kaprikornus titik B(4,11)

Selanjutnya substitusi masing-masing titik ke fungsi tujuan :
1). A(0,15) → F(x,y) = 1.300.000(0) + 1.200.000(15) = 18.000.000
2). B(4,11) → F(x,y) = 1.300.000(4) + 1.200.000(11) = 18.400.000
3). C(13,0) → F(x,y) = 1.300.000(13) + 1.200.000(0) = 16.900.000

Dari perhitungan di atas sanggup dilihat bahwa titik yang menghasilkan nilai terbesar yaitu titik B(4, 11). Jadi, semoga manfaatnya maksimum, jumlah sapi dan kerbau yang harus dibeli pak Mahmud yaitu 4 ekor sapi dan 11 ekor kerbau.
             
Contoh 6 : Menentukan Laba Maksimum Berdasarkan Fungsi Tujuan

Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan memakai gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp 8.000,00/kg dan pisang Rp 6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp 1.200.000,00 dan gerobaknya hanya sanggup menampung mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp 9.200,00/kg dan pisang Rp 7.000,00/kg, maka tentukanlah keuntungan maksimum yang diperoleh pedagang tersebut.

Baca juga : Pembahasan Laba Maksimum >>

Contoh 7 : Menentukan Titik Optimum Fungsi Tujuan

Sebuah perusahaan properti memproduksi dua macam lemari pakaian yaitu tipe lux dan tipe sport dengan memakai 2 materi dasar yang sama yaitu kayu jati dan cat pernis. Untuk memproduksi 1 unit tipe lux diperlukan 10 batang kayu jati dan 3 kaleng cat pernis, sedangkan untuk memproduksi 1 unit tipe sport diperlukan 6 batang kayu jati  dan 1 kaleng cat pernis.

Biaya produksi tipe lux dan tipe sport masing-masing yaitu Rp 40.000 dan Rp 28.000 per unit. Untuk satu periode produksi, perusahaan memakai paling sedikit 120 batang kayu jati dan 24 kaleng cat pernis. Bila perusahaan harus memproduksi lemari tipe lux paling sedikit 2 buah dan tipe sport paling sedikit 4 buah, tentukan banyak lemari tipe lux dan tipe sport yang harus diproduksi semoga biaya produksinya minimum.

Baca juga : Pembahasan Titik Optimum Fungsi Tujuan >>