Contoh 1 : Hubungan Sn dan Un
Secara umum, rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika sanggup dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat, yaitu Sn = An2 + Bn. Berdasarkan rumus tersebut, maka rumus suku ke-n deret itu ialah ....A. Un = 2An + (B - A)
B. Un = 2An + (A - B)
C. Un = 2An + (B + A)
D. Un = An + (B - A)
E. Un = An + (A - B)
Pembahasan :
Dik : Sn = An2 + Bn
Dit : n = ....?
Hubungan antara rumus jumlah n suku pertama (Sn) dengan rumus suku ke-n (Un) suatu deret aritmatika ialah sebagai berikut :
⇒ Un = Sn' - ½Sn''
Turunan pertama Sn :
⇒ Sn' = 2.A n2-1 + 1.B n1-1
⇒ Sn' = 2An + B
Turunan kedua Sn :
⇒ Sn'' = 1.2A n1-1 + 0
⇒ Sn'' = 2A
Rumus suku ke-n diperoleh :
⇒ Un = Sn' - ½Sn''
⇒ Un = 2An + B - ½(2A)
⇒ Un = 2An + B - A
⇒ Un = 2An + (B - A)
Jadi, rumus suku ke-n sanggup dinyatakan dengan Un = 2An + (B - A).
Jawaban : A
Contoh 2 : Menentukan Beda Barisan
Jika Sn = 5n2 + 7n menyatakan rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika, maka selisih antara setiap dua suku yang berdekatan dalam deret tersebut ialah ....A. b = 13
B. b = 10
C. b = 7
D. b = 5
E. b = 3
Pembahasan :
Dik : Sn = 5n2 + 7n
Dit : b = .... ?
Dengan memakai konsep turunan, kita sanggup memilih beda suatu deret menurut rumus jumlah n suku pertamanya. Beda deret aritmatika sama dengan turunan kedua dari Sn atau sanggup ditentukan dengan rumus :
⇒ b = Sn''
Turunan pertama Sn :
⇒ Sn' = 2.5 n2-1 + 1.7 n1-1
⇒ Sn' = 10n + 7
Turunan kedua Sn :
⇒ Sn'' = 1.10 n1-1 + 0
⇒ Sn'' = 10
Dengan demikian, diperoleh beda :
⇒ b = Sn''
⇒ b = 10
Jadi, beda barisan aritmatika tersebut ialah 10.
Jawaban : B
Contoh 3 : Menentukan Suku ke-n Deret Aritmatika
Jumlah total sebuah deret aritmatika yang terdiri dari n suku dinyatakan dengan Sn = 2n2 + 5n. Suku ketiga dan suku keenam deret tersebut berturut-turut ialah ....A. 35 dan 25
B. 15 dan 25
C. 25 dan 15
D. 15 dan 45
E. 15 dan 30
Pembahasan :
Dik : Sn = 2n2 + 5n
Dit : U3 dan U6 = .... ?
Turunan pertama Sn :
⇒ Sn' = 2.2 n2-1 + 1.5 n1-1
⇒ Sn' = 4n + 5
Turunan kedua Sn :
⇒ Sn'' = 1.4 n1-1 + 0
⇒ Sn'' = 4
Rumus suku ke-n diperoleh :
⇒ Un = Sn' - ½Sn''
⇒ Un = 4n + 5 - ½(4)
⇒ Un = 4n + 5 - 2
⇒ Un = 4n + 3
Suku ketiga, substitusi n = 3 :
⇒ Un = 4n + 3
⇒ U3 = 4.3 + 3
⇒ U3 = 12 + 3
⇒ U3 = 15
Suku ketiga, substitusi n = 3 :
⇒ Un = 4n + 3
⇒ U6 = 4.6 + 3
⇒ U6 = 24 + 3
⇒ U6 = 25
Jadi, suku ketiga dan suku keenam deret teresebut ialah 15 dan 25.
Jawaban : B
Contoh 4 : Menentukan Jumlah Suku Pertama dan Beda
Jumlah n suku pertama deret aritmatika ialah Sn = 5n2 + 7n. Jika a ialah suku pertama dan b ialah beda, maka nilai a + b sama dengan ....A. a + b = 22
B. a + b = 20
C. a + b = 18
D. a + b = 16
E. a + b = 15
Pembahasan :
Dik : Sn = 5n2 + 7n
Dit : a + b = ...?
Turunan pertama Sn :
⇒ Sn' = 2.5 n2-1 + 1.7 n1-1
⇒ Sn' = 10n + 7
Turunan kedua Sn :
⇒ Sn'' = 1.10 n1-1 + 0
⇒ Sn'' = 10
Beda deret tersebut :
⇒ b = Sn''
⇒ b = 10
Suku pertama :
⇒ a = S1
⇒ a = 5(1)2 + 7(1)
⇒ a = 5 + 7
⇒ a = 12
Dengan demikian, diperoleh penjumlahan :
⇒ a + b = 12 + 10
⇒ a + b = 22.
Jawaban : A
Contoh 5 : Menentukan Rumus Suku ke-n
Jika jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = 4n2 + 3n, maka rumus suku ke-n deret aritmatika tersebut ialah ....A. Un = 8n - 1
B. Un = 8n - 2
C. Un = 8n + 1
D. Un = 8n + 2
E. Un = 10n - 1
soal dan pembahasan perihal cara memilih suku ke CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN BARISAN ARITMATIKA DENGAN KONSEP TURUNAN" border="0" data-original-height="208" data-original-width="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOvnPVoBNsL4Atrao3LoKP_LOXGzBNG5Fo4h-Hmk-aHgnqctgnBs_v7tkMoONf83MDpNtn1V5IxeICn1llZkoit26qHBjQlsm5RCY1Kal7ZaMaEqYNhGTb7L52Lsftm5udIQgY0pKBUVpW/s1600/Contoh-dan-pembahasan-barisan-aritmatika-dengan-konsep-turunan.image.jpg" title="CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN BARISAN ARITMATIKA DENGAN KONSEP TURUNAN" />
Pembahasan :
Dik : Sn = 4n2 + 3n
Dit : Un = .... ?
Berdasarkan konsep deret aritmatika dan penggunaan turunan, korelasi antara jumlah n suku pertama dan suku ke-n suatu deret ialah sebagai berikut :
⇒ Un = Sn' - ½Sn''
Turunan pertama Sn :
⇒ Sn' = 2.4 n2-1 + 1.3 n1-1
⇒ Sn' = 8n + 3
Turunan kedua Sn :
⇒ Sn'' = 1.8 n1-1 + 0
⇒ Sn'' = 8
Rumus suku ke-n diperoleh :
⇒ Un = Sn' - ½Sn''
⇒ Un = 8n + 3 - ½(8)
⇒ Un = 8n + 3 - 4
⇒ Un = 8n - 1
Jadi, rumus suku ke-n deret tersebut ialah Un = 8n - 1.
Jawaban : A