LIRIK LAGU : Menentukan Jumlah N Suku Terakhir Suatu Deret Aritmatika

- Jumlah n Suku Terakhir. Ketika membahas soal deret, maka subtopik utama yang akan dibahasa ialah memilih jumlah n suku pertama deret tersebut. Jumlah n suku pertama deret aritmatika biasa dilambangkan dengan "Sn" dengan n menyatakan banyak atau jumlah suku pertama yang dijumlahkan. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika sanggup ditentukan memakai dua rumus dasar Sn yang telah dibahas pada beberapa artikel sebelumnya. Lalu bagaimana kalau yang ditanya ialah jumlah n suku terakhir? Jika diketahui deret aritmatika terdiri dari n suku dan anda diminta memilih jumlah n suku terakhirnya, bagaimana cara menentukannya? Apakah akan sama dengan cara memilih jumlah n suku pertama?

Jumlah n suku pertama intinya menjumlahkan sebanyak n suku pertama suatu deret. Dengan prinsip yang sama, jumlah n suku tekakhir maksudnya ialah menjumlahkan sebanyak n suku terakhir suatu deret. Jika jumlah n suku pertama kita lihat dari suku pertama, maka jumlah n suku terakhir kita lihat dari bab suku terakhir.

Misalkan diketahui sebuah deret aritmatika terdiri dari sepuluh suku yang ditulis sebagai U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + U₅ + U₆ + U₇ + U₈ + U₉ + U₁₀. Dari deret tersebut, misal kita diminta memilih jumlah 5 suku pertama dan jumlah 5 suku terakhir. Dalam hal ini, lima suku pertama ialah U₁, U₂, U₃, U₄ , dan U₅, sedangkan lima suku terakhir ialah U₆, U₇, U₈, U₉ dan U₁₀.

Dengan demikian, kalau diminta memilih jumlah 5 suku pertama dari deret tersebut, maka perhitungannya ialah sebagai berikut :
⇒ S₅ = U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + U₅

Dengan cara yang sama, jumlah 5 suku terakhir dari deret tersebut ditentukan dengan menjumlahkan 5 suku terakhir sebagai berikut :
⇒S₅ = U₆ + U₇ + U₈ + U₉ + U₁₀

Sampai di sini kita sudah melihat bagaimana prinsip penjumlah jumlah n suku pertama dan jumlah n suku terakhir. Intinya, jumlah n suku pertama dilihat dari sebelah kiri (dimulai dari suku pertama) sedangkan jumlah n suku terkahir dilihat dari sebelah kanan (dimulai dari suku terakhir).

Cara di atas sanggup dengan gampang kita lakukan kalau deret tersebut terdiri dari jumlah suku yang sedikit dan seluruh sukunya diketahui. Tapi bagaimana kalau deret itu terdiri dari belasan atau puluhan suku dan hanya beberapa suku saja yang diketahui? Bagaimana cara memilih jumlah n suku terakhirnya?

Jika dihadapkan pada kondisi ibarat itu, maka kita sanggup memanfaatkan sifat-sifat barisan aritmatika dan rumus dasar memilih jumlah n suku pertama. Prinsipnya ialah kita memisahkan n suku terakhir menjadi sebuah deret sehingga akan sama prinsipnya dengan n suku pertama.

Sebagai contoh, misalkan deret terdiri dari sepuluh suku sebagai berikut :
U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + U₅ + U₆ + U₇ + U₈ + U₉ + U₁₀.

Dari deret tersebut kita diminta memilih jumlah 4 suku terakhir. Kita tahu, 4 suku terakhir yang dimaksud dalam deret tersebut ialah U₇, U₈, U₉ dan U₁₀. Nah, selanjutnya kita sanggup memisahkan keempat suku tersebut sehingga dihasilkan deret aritmatika yang hanya terdiri dari empat suku.

Deret aritmatika yang terdiri dari 4 suku terakhir ialah sebagai berikut :
U₇ + U₈ + U₉ + U₁₀.

Jika deret tersebut kita pandang sebagai sebuah deret yang gres atau yang terpisah dari deret semula (yang sukunya ada sepuluh), maka kita sanggup menganggap keempat suku terkahir itu sebagai empat suku pertama. Dalam hal ini, U₇ menjadi U₁, U₈ menjadi U₂,  U₉ menjadi U₃, dan U₁₀ menjadi U₄.
 
Tapi perlu diingat bahwa pengandaian tersebut hanya berlaku untuk penomoran sukunya saja, sedangkan nilai dari masing-masing suku tetap sama. Sebagai contoh, diberi deret : 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20.

Dari deret tersebut, empat suku terakhirnya ialah 14, 16, 18, dan 20. Keempat suku tersebut sanggup disusun sebagai deret tersendiri yang terdiri dari empat suku sebagai berikut :
14 + 16 + 18 + 20.

Nah, dalam hal ini, semula 14, 16, 18, dan 20 pada deret yang pertama (yang terdiri dari 9 suku) merupakan suku ke-6, suku ke-7, suku ke-8, dan suku ke-9. Akan tetapi, pada deret tersendiri (yang terdiri dari 4 suku), keempat suku itu sanggup kita anggap sebagai suku pertama, suku ke-2, suku ke-3, dan suku ke-4.

Contoh :
Lima belas bilangan membentuk deret aritmatika dengan beda positif. Jika diketahui jumlah suku ke-13 dan suku ke-15 sama dengan 188 sedangkan selisih antara suku ke-13 dan suku ke-15 ialah 14, maka tentukanlah jumlah 5 suku terakhir deret tersebut.

Pembahasan :
Dik : U₁₃ + U₁₅ = 188, U₁₅ - U₁₃ = 14
Dit : S₅ suku terakhir = .... ?

Deret tersebut terdiri dari 15 suku sebagai berikut :
U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + U₅ + U₆ + U₇ + U₈ + U₉ + U₁₀ + U₁₁ + U₁₂ + U₁₃ + U₁₄ + U₁₅.

Deret yang terbentuk dari lima suku terakhirnya ialah :
U₁₁ + U₁₂ + U₁₃ + U₁₄ + U₁₅

Dalam hal ini, mari kita pandang deret yang terdiri dari 5 suku terakhir sebagai deret tersendiri sehingga dalam hal ini, U₁₁ bertindak sebagai suku pertama (a), dan U₁₅ bertindak sebagai suku terakhir (Un).

Untuk memilih jumlah 5 suku tersebut, kita harus memilih terlebih dahulu suku pertamanya (dalam hal ini U₁₁) dan suku terkahirnya (dalam hal ini U₁₅).

Dari soal kita peroleh dua persamaan :
(1) U₁₃ + U₁₅ = 188
(2) U₁₅ - U₁₃ = 14

Sesuai dengan konsep Un, maka kita peroleh :
⇒ U₁₅ = U₁₄ + b
⇒ U₁₅ = U₁₃ + b + b
⇒ U₁₅ = U₁₃ + 2b

Substitusi persamaan tersebut ke persamaan (2) :
⇒ U₁₅ - U₁₃ = 14
⇒ U₁₃ + 2b - U₁₃ = 14
⇒ 2b = 14
⇒ b = 7

Selanjutnya, substitusi persamaan U₁₅ dan  nilai b ke persamaan (1) :
⇒ U₁₃ + U₁₅ = 188
⇒ U₁₃ + U₁₃ + 2b = 188
⇒ 2U₁₃ + 2(7) = 188
⇒ 2U₁₃ = 188 - 14
⇒ 2U₁₃ = 174
⇒ U₁₃ = 87

Selanjutnya kita peroleh suku ke-15 sebagai berikut :
⇒ U₁₅ = U₁₃ + 2b
⇒ U₁₅ = 87 + 2(7)
⇒ U₁₅ = 101

Kita sudah peroleh suku terakhirnya, selanjutnya tinggal mencari suku pertama (suku ke-11). Caraya ialah sebagai berikut :
⇒ U₁₃ = U₁₁ + 2b
⇒ 87 = U₁₁ + 2(7)
⇒ U₁₁ = 87 - 14
⇒ U₁₁ = 73

Dengan demikian, jumlah 5 suku terahirnya ialah :
⇒ S₅ = n/2 (a +  Un)
⇒ S₅ = 5/2 (U₁₁ + U₁₅)
⇒ S₅ = 5/2 (73 + 101)
⇒ S₅ = 5/2 (174)
⇒ S₅ = 435

Jadi, jumlah 5 suku terakhir deret tersebut ialah 435.