LIRIK LAGU : Menentukan Beda Barisan Bila Rumus Jumlah N Suku Diketahui

- Hubungan Beda Barisan dengan Rumus Jumlah n Suku Pertama Deret Aritmatika. Pada pembahasan sebelumnya, edutafsi telah memaparkan bagaimana rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika sanggup diuraikan menjadi bentuk persamaan kuadrat dalam variabel n. Dalam beberapa model soal, biasanya rumus jumlah n suku pertama ini juga dinyatakan dalam bentuk persamaan kuadrat. Pada bentuk dasarnya sanggup dilihat bagaimana kekerabatan antara jumlah n suku pertama (Sn) suatu deret aritmatika dengan suku pertama (a) dan beda barisan aritmatika (b). Lalu bagaimana kalau di dalam soal rumus Sn dinyatakan dalam bentuk persamaan kuadrat (tidak ada variabel a atau b), dan anda diminta untuk memilih beda barisan tersebut. Bagaimana cara menentukannya?

Jika dihadapkan pada situasi menyerupai itu, maka yang sanggup kita lakukan ialah mengenali kembali konsep-konsep barisan aritmatika yang bekerjasama dengan persoalan tersebut. Dalam hal ini, salah satu konsep yang kita perlukan ialah konsep beda barisan dan jumlah n suku pertama.

Karena kita diminta memilih beda barisan sementara pada soal sama sekali tidak ada petunjuk mengenai nilai a atau beberapa suku lainnya (hanya rumus Sn yang diberikan dalam bentuk persamaan kuadrat), maka kita perlu mengkaji kembali apa itu beda barisan, bagaimana konsepnya, dan apa hubungannya dengan rumus Sn.

Konsep Beda Barisan Aritmatika

Kembali ke konsep dasar barisan aritmatika, beda merupakan selisih antara setiap suku ke-n barisan aritmatika dengan suku sebelumnya. Beda merupakan bilangan yang tetap yang sanggup diperoleh dengan cara melihat selisih antara suku kedua dengan suku pertama, selisih antara suku keempat dengan suku ketiga, dan seterusnya.

Sehingga, beda barisan aritmatika sanggup dinyatakan dengan rumus :

b = Un − Un-1

Nah, pada rumus di atas, beda mempunyai kekerabatan yang erat dengan dua suku yang berdekatan atau berurutan. Pada rumus kita sanggup melihat dengan terperinci ada Un di sana. Kemudian kita juga menemukan Un pada rumus jumlah n suku pertama kalau a dan Un diketahui sebagai berikut :

Sn = n/2 (a + Un)

Dari kedua rumus tersebut, seharusnya kita sanggup memilih nilai b. Tapi bagaimana caranya? Kita tahu bahwa beda barisan sanggup dihitung dengan memilih selisih antara suku kedua (U₂) dengan suku pertama (a). Nilai a dan suku kedua, sanggup kita tentukan menurut rumus Sn.

Katakanlah sebuah deret dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut :
U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + U₅ + .... + Un
 
Jika kita diminta memilih jumlah 1 suku pertama, maka jumlah tersebut tentu akan sama dengan suku pertamanya itu sendiri. Dengan demikian berlaku :
⇒ S₁ = U₁
⇒ S₁ = a
⇒ a = S₁ .... (i)

Kemudian, kalau kita diminta memilih jumlah 2 suku pertama, maka itu sama dengan jumlah suku pertama ditambah dengan suku kedua sebagai berikut :
⇒ S₂ = U₁ + U₂

Karena U₂ = a + b, maka kita peroleh :
⇒ S₂ = a + (a + b)
⇒ S₂ = 2a + b
⇒ 2a + b = S₂ .... (ii)

Kedua persamaan di atas (i) dan (ii) merupakan modal kita untuk memilih beda barisan aritmatika. Untuk lebih jelasanya kita akan lihat melalui pola soal berikut ini.

Contoh :
Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan dengan persamaan Sn = 5n² - 7n. Jika a menyatakan suku pertama, dan b menyatakan beda barisan aritmatika, maka tentukan nilai 2a + 3b.

Pembahasan :
Dik : Sn = 5n² - 7n
Dit : 2a + 3b = .... ?

Untuk menuntaskan soal ini, kita manfaatkan dua persamaan yang kita peroleh sebelumnya:
1). a = S₁
2). 2a + b = S₂

Untuk S₁, substitusi n = 1, diperoleh :
⇒ Sn = 5n² - 7n
⇒ S₁ = 5(1)² - 7(1)
⇒ S₁ = 5 - 7
⇒ S₁ = -2

Untuk S₂, substitusi n = 2, diperoleh :
⇒ Sn ₌ 5n² - 7n
⇒ S₂ = 5(2)² - 7(2)
⇒ S₂ = 20- 14
⇒ S₂ = 6

Selanjutnya substitusi nilai S₁ ke persamaan (1) :
⇒ a = S₁
⇒ a = -2

Kemudian substitusi nilai a dan S₂ ke persamaan (2) :
⇒ 2a + b = S₂
⇒ 2(-2) + b = 6
⇒ -4 + b = 6
⇒ b = 6 + 4
⇒ b = 10

Kita sudah peroleh nilai a = -2 dan nilai b = 10, maka :
⇒ 2a + 3b = 2(-2) + 3(10)
⇒ 2a + 3b = -4 + 30
⇒ 2a + 3b = 26.

Demikian pembahasan singkat mengenai cara memilih beda barisan aritmatika kalau rumus jumlah n suku pertama (Sn) diketahui dalam bentuk persamaan kuadrat. Jika artikel ini bermanfaat, bantu kami membagikannya kepada sobat anda melalui tombol share di bawah ini.