LIRIK LAGU : Rumus Memilih Jumlah Deret Geometri Tak Hingga

- Deret Geometri Tak Hingga. Deret geometri merupakan jumlah dari suku-suku pada barisan geometri. Untuk deret geometri dengan jumlah suku yang masih sanggup disebutkan, maka jumlah deret tersebut biasanya dikatakan sebagai jumlah n suku pertama deret geometri dengan n menyatakan banyak suku yang akan dijumlahkan. Lalu bagaimana kalau deret geometri mempunyai jumlah suku yang sangat banyak sampai mendati tak hingga? Apakah jumlahnya sanggup ditentukan memakai rumus? Untuk deret dengan jumlah suku mendekati tak sampai maka akan ada dua kondisi yang harus diperhatikan. Pada kesempatan ini, edutafsi akan memaparkan sifat deret tak sampai dan cara memilih jumlah deret tak hingga.

A. Bentuk Deret Geometri Tak Hingga

Jika deret geometri terdiri dari beberapa suku U₁, U₂, U₃, U₄, ..., Un, maka yang dimaksud dengan deret geometri tak sampai ialah deret geometri dengan jumlah suku yang terlalu banyak mendekati tak sampai (n → ∞). Secara sederhana deret geometri tak sampai sanggup ditulis menjadi U₁, U₂, U₃, U₄, ...., U∞.

Pada pembahasan sebelumnya, edutafsi telah membahas bagaimana cara memilih jumlah n suku pertama deret geometri dan jumlah tersebut disimbolkan dengan Sn. Untuk deret geometri tak hingga, maka banyak suku yang akan dijumlahkan menjadi tak terhingga banyaknya. Jumlah deret tak sampai umumnya disimbolkan dengan S∞.

Sesuai dengan rumus jumlah n suku pertama deret geometri yang berbentuk fungsi eksponen dalam r, maka Sn bergantung pada nilai rⁿ. Untuk sebarang nilai n (1, 2, 3, ...) jumlah n suku pertama ditentukan menurut rumus jumlah deret tersebut. Untuk n tak sampai (n → ∞), maka rumus jumlah n suku pertama masih sanggup disederhanakan.

Penentukan jumlah deret tak sampai intinya sama dengan rumus jumlah n suku pertama dengan memasukkan n = ∞. Tetapi, dengan nilai tak sampai tersebut ternyata terdapat kondisi khusus yang menciptakan rumusnya menjadi lebih sederhana. Sebelumnya telah dibahas bahwa rumus jumlah n suku pertama sanggup ditulis sebagai berikut :

⇒ Sn =	a(1 − rn)
	1 - r

Jika diuraikan, bentuk rumus di atas sanggup diubah menjadi :

⇒ Sn =	a − arn
	1 - r

⇒ Sn =	a	−	a . rn
	1 - r		1 - r

Selain bergantung pada nilai n, jumlah n suku pertama juga bergantung pada nilai rasio deret tersebut. Berdasarkan interval rasionya, deret tak sampai sanggup dibedakan menjadi dua jenis, yaitu deret tak sampai divergen dan deret tak sampai konvergen.

#1 Deret Tak Hingga Divergen
Deret tak sampai divergen ialah deret geometri tak sampai yang rasionya lebih besar dari satu atau lebih kecil dari negatif satu (r < -1 atau r > 1). Untuk rasio pada rentang tersebut, semakin besar n maka nilai rⁿ juga akan semakin besar. Lalu bagaimana kalau n tak hingga?

Jika r > 1 dan n menuju tak sampai (n → ∞), maka nilai eksponen rⁿ juga akan menuju tak sampai (rⁿ → ∞). Untuk r < -1 dan n tak hingga, juga akan dihasilkan nilai rⁿ tak hingga. Dengan demikian, deret tak sampai ini bersifat divergen (memencar) dan tidak mempunyai limit jumlah.

Jika rⁿ → ∞, maka rumus jumlah deret tak sampai akan menjadi :
⇒ S∞ = a/(1 - r) − a.rⁿ/(1 - r)
⇒ S∞ = a/(1 - r) − a(∞)/(1 - r)
⇒ S∞ = ± ∞

#2 Deret Tak Hingga Konvergen
Deret tak sampai konvergen ialah deret geometri tak sampai yang rasionya berada di antara negatif 1 dan satu (-1 < r < 1). Jika melihat interval tersebut, maka deret geometri tak sampai konvergen merupakan deret geometri dengan rasio berupa bilangan cuilan yang lebih besar dari -1 dan lebih kecil dari 1.

Jika r < 1 dan n menuju tak sampai (n → ∞), maka nilai eksponen rⁿ juga akan mendekati nol (rⁿ → 0). Begitu juga ketika r > -1 dan n menuju tak hingga, maka nilai eksponen rⁿ juga akan mendekati nol. Berdasarkan kondisi tersebut, deret tak sampai ini bersifat memusat dan mempunyai limit jumlah.

Jika rⁿ → 0, maka rumus jumlah deret tak sampai akan menjadi :
⇒ S∞ = a/(1 - r) − a.rⁿ/(1 - r)
⇒ S∞ = a/(1 - r) − a(0)/(1 - r)
⇒ S∞ = a/(1 - r) − 0
⇒ S∞ = a/(1 - r)

Perhatikan bahwa rumus jumlah deret tak sampai konvergen menjadi lebih sederhana alasannya ialah rⁿ = 0. Dengan rumus di atas, jumlah deret geometri tak sampai yang rasioanya lebih besar dari -1 dan lebih kecil dari 1 sanggup ditentukan. Perhatikan bahwa rumus tersebut hanya berlaku untuk deret tak sampai dengan -1 < r < 1.

B. Rumus Deret Tak Hingga Konvergen

Berdasarkan klasifikasi pada nomor dua di atas, sanggup dilihat bahwa untuk deret geometri tak sampai yang bersifat konvergen (memusat), maka jumlah deret tak sampai menjadi lebih sederhana dibanding rumus jumlah n suku pertama. Jumlah deret geometri tak sampai konvergen sanggup dihitung memakai rumus berikut ini.

S∞ = a 1 − r

Keterangan :
S = jumlah deret geometri tak hingga
a = suku pertama deret geometri
r = rasio deret geometri (-1 < r < 1).

Contoh : 
Diberikan deret geometri sebagai berikut : 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, .... Tentukanlah jumlah deret tersebut untuk banya suku mendekati tak hingga.

Pembahasan :
Dik : a = 4, r = 2/4 = 1/2 = ½
Dit : S∞ =

Pada soal diketahui rasio deretnya bernilai lebih kecil dari 1. Dengan demikian, deret tersebut merupakan deret tak sampai yang bersifat konvergen. Dengan memakai rumus deret tak sampai kovergen maka diperoleh :
⇒ S∞ = a/(1 - r)
⇒ S∞ = 4/(1 - ½)
⇒ S∞ = 4/½
⇒ S∞ = 8

Jadi, jumlah deret tak sampai untuk deret geometri tersebut ialah 8.

Demikianlah pembahasan singkat mengenai cara memilih jumlah deret geometri tak sampai konvergen. Jika materi mencar ilmu ini bermanfaat, bantu kami membagikannya kepada teman-teman anda melalui tombol share yang tersedia di bawah ini.