LIRIK LAGU : Rumus Dasar Integral Fungsi Trigonometri Dilengkapi Contoh

- Integral Fungsi Trigonometri. Ketika membahas mengenai pengertian dan jenis-jenis integral, edutafsi telah menyinggung sedikit mengenai jenis integral bedasarkan bentuk fungsinya. Jika dilihat dari bentuk fungsinya, maka ada beberapa jenis integral menyerupai integral fungsi konstanta, integral fungsi pangkat, integral fungsi eksponen, integral fungsi trigonometri, dan sebagainya. Integral fungsi trigonometri yaitu sebuah integral yang integrannya berupa fungsi trigonometri. Dengan kata lain, pada integral tersebut fungsi yang akan diintegrasikan yaitu fungsi berbentuk trigonometri. Lalu, bagaimana bentuk dan rumus dasar untuk integral fungsi trigonometri? Pada kesempatan ini, edutafsi akan memaparkan beberapa rumus yang umum dalam integral fungsi trigonometri.

A. Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

Sama sepertti integral pada umumnya, integral fungsi trigonometri secara garis besar sanggup dibedakan menjadi dua jenis, yaitu integral tak tentu fungsi trigonometri dan integral tentu fungsi trigonometri. Sesuai dengan definisi integral tak tentu dan integral tentu, maka perbedaan keduanya terletak pada ada tidaknya batas untuk variabel integrasinya. Pada integral tak tentu fungsi trigonometri tidak ada batas untuk variabel integrasinya sedangkan pada integral tentu ada batas variabel integrasinya.

Integral tak tentu fungsi trigonometri merupakan bentuk integral yang integran nya berbentuk fungsi trigonometri dan variabel integrasinya tidak mempunyai batas. Karena variabel integrasinya tidak mempunyai batasan, maka hasil dari integral tak tentu fungsi trigonometri hanyalah berupa penyelsaian umum yang juga dalam bentuk fungsi trigonometri ditambah sebuah tetapan integrasi yang disimbolkan dengan karakter c.

Karena fungsi integran (fungsi yang akan diintegralkan) berbentuk fungsi trigonometri, maka penyelesaiannya pun melibatkan beberapa konsep atau identitas trigonometri. Oleh alasannya yaitu itu, dalam materi ini, murid sebaiknya mengingat kembali konsep-konsep penting yang ada dalam materi trigonometri termasuk identitas trigonometri dan turunan fungsi trigonometri.

Karena integral merupakan operasi balikan dari diferensial (anti diferensial), maka integral dari fungsi trigonometri sanggup diselesaikan dengan berpatokan pada hasil dari turunan beberapa fungsi trigonometri. Misalnya, turunan dari sin x yaitu cos x, maka integral dari cos x yaitu sin x + c.

Secara umum, kalau f(x) merupakan sebuah fungsi dalam bentuk trigonometri, maka integral tak tentu dari fungsi f(x) sanggup diselesaikan dengan rumus dasar integral tak tentu sebagai berikut:

∫ f(x) dx = F(x) + c

Keterangan :
f(x) = fungsi integran (dalam hal ini berbentuk trigonometri)
F(x) = penyelesaian umum dari integral f(x)
dx = variabel integrasi
c = tetapan integrasi.

Untuk melihat bagaimana proses memilih hasil integral tak tentu fungsi trigonometri, berikut ini edutafsi jabarkan beberapa fungsi trigonometri yang umum dipakai dalam soal integral.

#1 Integral Fungsi cos x
Jika diberikan fungsi F(x) = sin x dan f(x) yaitu turunan dari F(x), maka turunan dari fungsi tersebut adalah:
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d(sin x)/dx
⇒ f(x) = cos x

Karena turunan dari sin x yaitu cos x, maka integral dari f(x) adalah:
⇒ ∫ f(x) dx = F(x) + c
⇒ ∫ cos x dx = sin x + c

Secara umum, persamaan tersebut sanggup diperluas sebagai berikut:

∫ cos ax dx = 1/a sin ax + c

∫ cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + c

Contoh :
Jika diberikan f(x) = cos 3x + 5, maka tentukanlah integral dari f(x).

Pembahasan :
Dik : f(x) = cos 3x + 5 maka a = 3 dan b = 5
Dit :  ∫ f(x) dx = .... ?

Berdasarkan rumus di atas, maka diperoleh :
⇒ ∫ f(x) dx = ∫ (cos 3x + 5) dx
⇒ ∫ f(x) dx = 1/3 sin (3x + 5) + c.

#2 Integral Fungsi sin x
Jika diberikan fungsi F(x) = cos x dan f(x) yaitu turunan dari F(x), maka turunan dari fungsi tersebut adalah:
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d(cos x)/dx
⇒ f(x) = -sin x

Karena turunan dari cos x yaitu -sin x, maka integral dari f(x) adalah:
⇒ ∫ f(x) dx = F(x) + c
⇒ ∫ -sin x dx = cos x + c
⇒ ∫ sin x dx = -cos x + c

Secara umum, persamaan tersebut sanggup diperluas sebagai berikut:

∫ sin ax dx = - 1/a cos ax + c

∫ sin (ax + b) dx = - 1/a cos (ax + b) + c

Contoh :
Tentukanlah hasil integrasi dari ∫ 6 sin 2x dx!

Pembahasan :
Dik : f(x) = 6 sin 2x maka a = 2
Dit :  ∫ 6 sin 2x dx = .... ?

Berdasarkan rumus di atas, maka diperoleh :
⇒ ∫ 6 sin 2x dx = 6 ∫ sin 2x dx
⇒ ∫ 6 sin 2x dx = 6 (-1/2 cos 2x + c)
⇒ ∫ 6 sin 2x dx = -3 cos 2x + c.

#3 Integral Fungsi sec² x
Jika diberikan fungsi F(x) = tan x dan f(x) yaitu turunan dari F(x), maka turunan dari fungsi tersebut adalah:
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d(tan x)/dx
⇒ f(x) = sec² x

Karena turunan dari tan x yaitu sec² x, maka integral dari f(x) adalah:
⇒ ∫ f(x) dx = F(x) + c
⇒ ∫ sec² x dx = tan x + c

Secara umum, persamaan sanggup diperluas sebagai berikut:

∫ sec2 ax dx = 1/a tan ax + c

∫ sec2 (ax + b) dx = 1/a tan (ax + b) + c

Contoh :
Tentukan hasil dari ∫ -4 sec² (8x) dx!

Pembahasan :
Dik : f(x) =  -4 sec² (8x), maka a = 8
Dit : ∫ f(x) dx = ...?

Berdasarkan rumus integral di atas, diperoleh:
⇒ ∫ -4 sec² (8x) dx = -4 ∫ sec² (8x) dx
⇒ ∫ -4 sec² (8x) dx = -4 (1/8 tan 8x + c)
⇒ ∫ -4 sec² (8x) dx = -½ tan 8x + c.

#4 Integral Fungsi tan x. sec x
Jika diberikan fungsi F(x) = sec x dan f(x) yaitu turunan dari F(x), maka turunan dari fungsi tersebut adalah:
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d(sec x)/dx
⇒ f(x) = tan x. sec x

Karena turunan dari sec x yaitu tan x. sec x, maka integral dari f(x) adalah:
⇒ ∫ f(x) dx = F(x) + c
⇒ ∫ tan x. sec x dx = sec x + c

Secara umum, persamaan sanggup diperluas sebagai berikut:

∫ tan ax. sec ax dx = 1/a sec ax + c

∫ tan (ax + b). sec (ax + b) dx = 1/a sec (ax + b) + c

Contoh :
Jika diberi sebuah fungsi f(x) = tan (2x + 5). sec (2x + 5), maka tentukan integral dari f(x).

Pembahasan :
Dik : f(x) = tan (2x + 5). sec (2x + 5), maka a = 2 dan b = 5
Dit : ∫ f(x) dx = ...?

Berdasarkan rumus integral di atas, maka diperoleh:
⇒ ∫ f(x) dx = ∫ tan (2x + 5). sec (2x + 5) dx
⇒ ∫ f(x) dx = ½ sec (2x + 5) + c.

B. Integral Tentu Fungsi trigonometri

Integral tentu fungsi trigonometri yaitu integral dengan integran berupa fungsi trigonometri dan mempunyai batas untuk variabel integrasinya. Karena fungsi integran berbentuk trigonometri, maka batas variabel integrasinya berupa besar sudut dan umumnya dinyatakan dengan π radian.

Secara umum, kalau f(x) merupakan sebuah fungsi dalam bentuk trigonometri, maka integral tentu dari fungsi f(x) dengan batas atas b dan batas bawah a sanggup diselesaikan dengan rumus dasar integral tentu sebagai berikut:

a∫b f(x) dx = F(b) − F(a)

Keterangan :
f(x) = fungsi integran (dalam hal ini berbentuk trigonometri)
dx = variabel integrasi (berupa sudut dinyatakan dalam π radian)
a = batas bawah variabel integrasi
b = batas atas variabel integrasi.
F(b) = hasil integrasi untuk batas atas
F(a) = hasil integrasi untuk batas bawah.

Contoh :
Tentukanlah hasil integral dari f(x) = cos x dengan batas atas ½π dan batas bawah 0.

Pembahasan :
Dik : f(x) = cos x, a = 0, b = ½π
Dit :  _o∫^½π f(x) dx = .... ?

Untuk mempermudah, kita uraikan satu-persatu. Kita sanggup tentukan F(x) terlebih dahulu.
⇒ ∫ f(x) dx = F(x) + c
⇒ ∫ cos x dx = sin x + c
⇒ F(x) = sin x ..... (1)

Untuk batas atas, subtitusi x = b = π/2 ke persamaan (1):
⇒ F(x) = sin x
⇒ F(π/2) = sin π/2
⇒ F(π/2) = sin 90^o
⇒ F(π/2) = 1

Untuk batas bawah, subtitusi x = a = 0 ke persamaan (1):
⇒ F(x) = sin x
⇒ F(0) = sin 0
⇒ F(0) = 0

Berdasarkan rumus integral tentu, maka :
⇒ _a∫^b f(x) dx = F(b) − F(a)
⇒ _o∫^½π cos x dx = F(π/2) − F(0)
⇒ _o∫^½π cos x dx = 1 - 0
⇒ _o∫^½π cos x dx = 1.

Demikianlah pembahasan singkat mengenai pengertian dan rumus integral fungsi trigonometri yang terdiri dari integral tak tentu dan integral tentu fungsi trigonometri dilengkapi dengan contoh. Jika materi mencar ilmu ini bermanfaat, bantu kami membagikannya kepada teman-teman anda melalui tombol share di bawah ini.