LIRIK LAGU : Pengertian Dan Rumus Dasar Untuk Integral Tak Tentu

-Integral Tak Tentu. Integral merupakan bentu operasi matematika yang menyatakan kelabikan dari differensial atau turunan sehingga disebut juga sebagai anti diferensial. Dalam operasi integral terdapat notasi integral dan notasi variabel integrasi. Berdasarkan ada tidaknya batas untuk variabel integrasi, secara umum integral dibedakan menjadi dua jenis, yaitu intgeral tak tentu (indefinite integral) dan integral tentu (definite integral). Pada pembahasan sebelumnya, edutafsi telah membahas pengenalan dasar mengenai kedua jenis integral ini. Pada materi berguru ini, akan dibahas bagaimana hukum dan rumus dasar dari integral tak tentu.

A. Pengertian Integral Tak Tentu

Integral tak tentu merupakan bentuk integral yang variabel integrasinya tidak mempunyai batas sehingga integrasi dari sebuah fungsi akan menghasilkan banyak kemungkinan dan hanya dinyatakan sebagai penyelesaian umum. Istilah tak tentu berarti bentuk fungsi F memuat konstanta real sembarang. Konstanta sembarang ini umumnya disimbolkan dengan abjad c dan menjadi ciri dari hasi integrasi tak tentu.

Mengapa hasil integral tak tentu mempunyai banyak kemungkinan dan hanya berupa solusi umum? Hasil integral tak tentu disebut demikian alasannya memang tidak sanggup dipastikan fungsi mana yang merupakan integral dari suatu integran. Integran merupakan istilah untuk sebuah fungsi yang akan ditarik integralnya. Untu lebih jelasnya, mari simak ulasan berikut ini.

Seperti defenisinya, integral intinya merupakan operasi balikan dari turunan (diferensial). Maksudnya, bila f(x) yakni turunan dari F(x), maka kita sanggup memilih F(x) dengan cara mengintegralkan f(x). Akan tetapi, pada kenyataannya, saat f(x) diintegralkan maka kesudahannya tidak hanya berupa F(x) melainkan mengandung suatu tetapan yaitu c.

Sebagai contoh, mari kita ambil sebuah fungsi, katakan F(x) = 3x². Jika f(x) yakni turunan dari fungsi F(x), maka diperoleh :
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d (3x²)/dx
⇒ f(x) = 6x

Kemudian diberikan juga fungsi kedua dalam variabel x, contohnya F(x) = 3x² + 4. Jika f(x) yakni turunan dari fungsi F(x), maka diperoleh :
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d (3x² + 4)/dx
⇒ f(x) = 6x

Nah, pada kedua proses diferensiasi (menurunkan) di atas, sanggup dilihat bahwa kedua fungsi tersebut menghasilkan turunan yang sama, yaitu sama-sama 6x.

Jika berpatokan pada fungsi pertama F(x) = 3x², maka hasil dari integral 6x yakni :
⇒ ∫ f(x) dx = ∫ 6x dx
⇒ ∫ f(x) dx ≈ 3x²

Sebaliknya, bila berpatokan pada fungsi kedua F(x) = 3x² + 4, maka integral dari 6x adalah:
⇒ ∫ f(x) dx = ∫ 6x dx
⇒ ∫ f(x) dx ≈ 3x² + 4

Dari kedua proses integrasi di atas, sanggup kita lihat bahwa integral dari 6x ternyata tidak menghasilkan satu balasan yang pasti, alasannya sanggup saja jawabannya yakni 3x² atau 3x² + 4. Jawaban dari integral 6x juga sanggup saja fungsi lain contohnya 3x² + 10, 3x² - 6, dan sebagainya. Oleh alasannya itu, balasan dari integral tak tentu hanya sanggup ditulis sebagai penyelesaian umum dengan menambahkan suatu tetapan integrasi c.

Dengan demikian, bila f(x) yakni turunan dari F(x), maka hasil integrasi dari f(x) sanggup ditulis sebagai berikut:

∫ f(x) dx = F(x) + c

Keterangan :
∫ = notasi integral tak tentu
f(x) = integran atau fungsi yang akan ditarik integralnya
dx = variabel integrasi
F(x) = fungsi umum penyelesaian
c = tetapan atau konstanta integrasi.

B. Aturan dan Rumus Dasar Integral

Pada dasarnya hasil integral dari suatu fungsi sanggup ditentukan dengan cara menduga proses turunannya. Untuk fungsi yang sederhana, cara ini sanggup saja berhasil. Akan tetapi, untuk fungsi yang lebih kompleks tentu saja akan sangat sulit untuk meruntut proses turunannya semoga diperoleh integrasinya. Oleh alasannya itu, dalam penyelesaian integral terdapat beberapa hukum dasar yang sanggup dijadikan sebagai patokan untuk menuntaskan problem integral.

#1 Integral Tak Tentu Suatu Konstanta
Diberikan sebuah fungsi F(x) = kx. Jika f(x) yakni turunan dari F(x), maka f(x) = k. Dengan demikian, integral dari k akan mengandung penyelesaian umum yaitu kx + c. Jika fungsi yang akan diintegralkan (integran) tidak mengandung variabel atau hanya berupa konstanta, maka hasil integralnya akan mengikuti rumus dasar berikut ini:

∫ k dx = kx + c

Keterangan :
k = konstanta atau bilangan tertentu
c = tetapan integrasi.

Contoh :
Tentukan hasil integral dari beberapa bentuk di bawah ini:
(a). ∫ 6 dx      (b). ∫ 8 dy       (c). ∫ 4 dt

Pembahasan :
Sesuai dengan hukum dasar untuk fungsi konstanta, maka diperoleh:
a). ∫ 6 dx = 6x + c
b). ∫ 8 dy = 8y + c
c). ∫ 4 dt = 4t + c

#2 Integral Tak Tentu Fungsi Pangkat
Integral tak tentu dari suatu fungsi pangkat sanggup diartikan sebagai fungsi pangkat lain yang diperoleh dari integran dengan cara menambah pangkatnya dengan 1 dan membagi pernyataan yang dihasilkan dengan pangkat gres tersebut. Dengan kata lain, bila integran berbentuk fungsi pangkat, maka hasil integralnya mengikuti rumus dasar berikut:

∫ xn dx = 1  xn+1 + c n + 1

Keterangan :
xⁿ = bilangan atau fungsi pangkat
n = pangkat dari variabel x
c = tetapan integrasi.

Contoh :
Tentukan hasil dari integral tak tentu berikut ini : ∫ x⁴ dx

Pembahasan :
Sesuai dengan rumus dasar untuk fungsi pangkat di atas, n = 4, maka:
⇒ ∫ x⁴ dx = 1/(4+1) . x⁴⁺¹ + c
⇒ ∫ x⁴ dx = 1/5 . x⁵ + c
⇒ ∫ x⁴ dx = ¹/₅ x⁵ + c

#3 Integral Tak Tentu Konstanta Kali Fungsi
Aturan ketiga ini merupakan perpaduan antara hukum pertama dan hukum kedua. Jika fungsi integran (fungsi yang akan diintegralkan) merupakan hasil kali konstanta dan fungsi, maka hasil integralnya sanggup ditentukan dengan memakai rumus dasar berikut ini:

∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx

∫ k xn dx = k 1  xn+1 + c n + 1

Keterangan :
k = konstanta
n = pangkat dari variabel x.

Contoh :
Tentukan hasil dari integral tak tentu berikut ini : ∫ 4 x³ dx

Pembahasan :
Dari soal diketahui k = 4 dan n = 3, maka sesuai rumus diperoleh:
⇒ ∫ 4 x³ dx = 4 ∫ x³ dx =
⇒ ∫ 4 x³ dx = 4 . 1/(3+1) . x³⁺¹ + c
⇒ ∫ 4 x³ dx = 4 . 1/4 . x⁴ + c
⇒ ∫ 4 x³ dx = x⁴ + c

#4 Integral Tak Tentu Penjumlahan Fungsi
Aturan berikutnya yakni untuk integran yang berbentuk penjumlahan dua fungsi. Misalkan diberikan dua buah fungsi dengan variabel yang sama yaitu f(x) dan g(x), maka hasil integral dari penjumlahan fungsi tersebut sanggup diselesaikan dengan mengikuti rumus berikut:

∫ {f(x) + g(x)} dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx

∫ {f(x) − g(x)} dx = ∫ f(x) dx − ∫ g(x) dx

Keterangan :
f(x) = fungsi pertama dalam variabel x
g(x) = fungsi kedua dalam variabel x.

Contoh : 
Tentukan hasil dari integral tak tentu berikut : ∫ (4x³ + 2x) dx

Pembahasan :
Jika fungsi di atas diuraikan maka diperoleh f(x) = 4x³ dan g(x) = 2x.
⇒ ∫ {f(x) + g(x)} dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
⇒  ∫ (4x³ + 2x) dx  = ∫ 4x³ dx + ∫ 2x dx
⇒  ∫ (4x³ + 2x) dx  = {4 . 1/(3+1) . x³⁺¹ + c₁} + {2 . 1/(2+1) . x¹⁺¹ + c₂}
⇒  ∫ (4x³ + 2x) dx  = {4 . 1/4 . x⁴ + c₁} + {2 . 1/2 . x² + c₂}
⇒  ∫ (4x³ + 2x) dx  = (x⁴ + c₁) + (x² + c₂)
⇒  ∫ (4x³ + 2x) dx  = x⁴ + x² + c₁ + c₂
⇒  ∫ (4x³ + 2x) dx  = x⁴ + x² + c.

#5 Integral Tak Tentu Kebalikan Variabel
Jika integran merupakan bentuk kebalikan dari variabel fungsi (variabel pangkat negatif 1), maka hasil integral dari fugsi tersebut sanggup diperoleh berdasaran hukum dasar berikut ini.

∫ x-1 dx = ln |x| + c

Keterangan :
x = variabel fungsi
ln = logaritma natural
| | = nilai mutlak dari variael x.

Demikianlah pembahasan singkat mengenai pengertian dan rumus dasar untuk integral tak tentu. Jik materi berguru ini bermanfaat, bantu kami membagikannya kepada teman-teman anda melalui tombol share di bawah ini. Terimakasih.